作为人工智能的理论基础，非经典逻辑研究具有重要的理论意义及应用价值。基于格蕴涵代数的格值逻辑是一种重要的非经典逻辑，徐扬等从1993年开始对格蕴涵代数、基于格蕴涵代数的格值逻辑系统、基于该逻辑系统的不确定性推理及自动推理理论与方法进行了系统、深入的研究。

一 关于格蕴涵代数的研究

为建立一种新的格值逻辑系统，徐扬于1993年提出了格蕴涵代数的概念，它是一种将格与蕴涵代数相结合而建立的非经典逻辑代数。

格蕴涵代数是一个代数系统L=（L，∨，∧，′，→，O，I），其中：

（1）（L，∨，∧，O，I）是一个有界格，O，I分别为其最小元及最大元；

（2）′：L→L是一个逆序对合映射；

（3）→：L×L→L是一个二元运算且对任意x，y，z∈L，有：

①x→（y→z）=y→（x→z）；

②x→x=I；

③x→y=y′→x′；

④若x→y=y→x=I，则x=y；

⑤（x→y）→y=（y→x）→x；

⑥（x∨y）→z=（x→z）∧（y→z）；

⑦（x∧y）→z=（x→z）∨（y→z）。

例1（Łukasiewicz蕴涵代数）若在[0，1]区间上定义以下运算：

x∨y=max{x，y}，x∧y=min{x，y}，x′=1-x，x→y=min{1，1-x+y}，

则（[0，1]，∨，∧，′，→，0，1）是格蕴涵代数。

例2 若L={O，a，b，c，d，I}，O′=I，a′=c，b′=d，c′=a，d′=b，I′=O，L的Hasse图以及蕴涵→分别如图1，表1，则（L，∨，∧，′，→，O，I）是格蕴涵代数。

格蕴涵代数是一种广泛的代数结构，所有的格蕴涵代数构成一个真类。格蕴涵代数有许多良好的性质，如：对任意x，y，z∈L，

（1）（L，∨，∧）是分配格；

（2）x≤y当且仅当x→y=I；

（3）x→O=x′，I→x=x；

（4）若x≤y，则z→x≤z→y，y→z≤x→z；

（5）x→y≥x′∨y；

（6）若对于x∈L，x∨x′=I，则（L，∨，∧，′）是布尔代数；

（7）（x→y）∨（y→x）=I；

（8）（x→y）→y=x∨y；

（9）z→（x→y）≥（z→x）→（z→y）；

（10）（x→y）→（z→y）=（y→x）→（z→x）；

（11）x∨y=I当且仅当x→y=y。

对任意x，y∈L，记x⊗y=（x→y′）′。

若L为有限链，则存在L上唯一的蕴涵→，使其成为格蕴涵代数。有限格蕴涵代数可分解为有限链的笛卡尔乘积。在[0，1]区间上，可以定义无穷多种格蕴涵代数。在格蕴涵代数上可适当定义运算使其成为MV代数，反之亦然。

按常规方式可以定义格蕴涵代数的子代数以及格蕴涵代数之间的同态映射。

滤子是形式推演中MP规则在代数中的表现形式，对于研究非经典逻辑代数以及相应的逻辑系统具有重要意义。格蕴涵代数l的一个子集J称为它的一个滤子，如果I∈J且x，x→y∈J时，有y∈J。l的滤子可以由L的子集生成。适当增加条件可以分别得到关联滤子、生成滤子、素滤子、超滤子、I-滤子、结合滤子、奇异滤子、对合滤子、固执滤子等。格蕴涵代数中的滤子与同余关系可以互相确定，从而借助滤子可产生格蕴涵代数的一种商结构。另外，关于滤子的模糊化方法、滤子的对偶结构（LI-理想、ILI-理想、WLI-理想）、格蕴涵代数构成的范畴以及格蕴涵代数与其他非经典逻辑代数的关系，也有许多研究成果。

二 基于格蕴涵代数的格值逻辑系统研究

基于格蕴涵代数的格值逻辑系统研究始于1993年。此后，徐扬等针对“两个层次”（被处理对象本身及对被处理对象处理的过程）、“两种类型”的不确定性（模糊性和不可比较性），分别建立了以格蕴涵代数为真值域的格值命题逻辑系统LP（X）、格值一阶逻辑系统LF（X），并在此基础上进一步建立了分层格值命题逻辑系统L_vpl、分层格值一阶逻辑系统L_vfl（实际上，L_vpl和L_vfl都是一族逻辑系统，固定一组参量就固定了一个逻辑系统）。以上逻辑系统共同的特点是取公式集合上特定形式的L-模糊集作为形式推演的公理集，在一定水平上讨论形式推演，相应地，语义推导也按水平进行。对于以上逻辑系统，研究了它们的语义、语法结构及相关性质，刻画了系统的可靠性、完备性、相容性以及演绎定理等重要结论。以下以逻辑系统L_vpl为例，叙述主要的概念与结论。

定义1 设X为F_L（F_p）中的任意元素，（r，t）为R_n中的一个n元推理规则，α为赋值域？中的任意元素：

若对R中的任意规则（r，t），X关于（r，t）是α-I（α-II）型封闭的，则称X关于R是α-I（α-II）型封闭的。

定义2 设T⊆F_L（F_p），α为赋值域L中的任意元素。若对T中的任意元素T，T关于R是α-i型封闭的，则称R关于T是α-i型可靠的，其中，i=I，II。

定义3 设X为F_L（F_p）中的任意元素，T⊆F_L（F_p），p为F_p中的一个公式，α，β，θ为赋值域L中的任意元素。

（1）定义X语义导出p的两种形式：

（2）若映射PsupI（PsupII）：（n）→F_p×L（（n）={1，2，…，n}）

满足下列条件：

①（p_n，θ_n）=（p，θ）

④存在i₁，…，i_k≤i和R_k中的规则（r，t），使得：

定理1（可靠性-完备性）若R中的真值运算满足有限半连续性，则对F_p中的任意公式p及i=I，II，有：

定理1说明了语义与语法的一致性。

定义4 设δ为赋值域L中的任意元素，T为T中的元素，p为F_p中的一个公式。若T（p′）=（T（p））′，X（p）→T（p）≥δ，则称T为δ-i型满足X，此时也称X为δ-i型可满足的，i=I，II。

定义5 设t为赋值域L中的任意元素。若：

则称X关于（α，β，T）是t′-i型相容的，i=I，II。

定理2（相容性）若X为δ-i型可满足的，则X关于（α，β，T）是δ⊗δ-i型相容的，i=I，II。

定理3（演绎定理）设（r₂sup0，t₂）为R中的一个推理规则，p，q为F_p中的任意两个公式，σ，θ为赋值域L中的任意元素。

其中，r₂sup0（p，p→q）=q，T_H={T|T为F_p到L的一个同态映射}。

三 依据基于格蕴涵代数的格值逻辑系统的不确定性推理研究

依据基于格蕴涵代数的格值逻辑系统的不确定性推理是对基于经典逻辑系统的确定性推理的一种合理扩充。记F₂为经典逻辑中的合式公式集，Tsup*为其赋值集。设X，Y⊆F₂。经典逻辑中X||=Y有下面的等价表示：

简单介绍基于逻辑系统L_vpl的不确定性推理方法。和其他的不确定性推理方法一样，这种推理方法也有一定的适用范围。我们要求模型（2）在L_vpl中（α，β，τ，T）-i型正规（i=I，II），即存在α，β，τ∈L，T⊆F_L（F_P）及推理规则集R，使得：

依据基于格蕴涵代数的格值逻辑系统还得到了一些相关的理论研究成果，提出了多种不确定性推理方法，并将其应用于不确定性决策研究。

四 依据基于格蕴涵代数的格值逻辑系统的归结自动推理研究

基于格蕴涵代数的格值逻辑中的蕴涵联结词“→”是一类广泛的蕴涵，一般情况下不能用其他逻辑联结词表示，从而使得逻辑公式中的文字结构比较复杂。通常由常元、原子、原子的非，以及蕴涵联结词构成无法简化的特殊结构的逻辑公式——广义文字。这使得一般的逻辑公式至多能转换为广义文字构成的广义范式。

2000年，徐扬等将经典逻辑中的归结原理拓广到基于格蕴涵代数的格值逻辑中，提出了α-归结原理，利用α-归结原理对格值逻辑中某一真值水平的不可满足广义子句集能够给出某一真值水平的反驳证明。以下以逻辑系统LP（X）为例，叙述主要的概念与结论。

定义6 设F为LP（X）中的公式，如果删除F中的任何常量、文字或蕴涵项，得到的新的格值逻辑公式Fsup*都不与F等值，则称F为极简式，简记为ESF；若F为ESF，且F中除了→，′之外不含有其他逻辑运算，称F为不可分极简式，简记为IESF。设F为IESF，若有x，y或a（≠I）使得F≥x→y或F≥a→y，则称F正则。这里，文字与经典逻辑中含义相同。

所有的常量、文字和IESF统称为广义文字，广义文字的析取（合取）称为广义子句（短语），有限个广义子句（短语）的合取（析取）称为广义合取（析取）范式。若广义合取（析取）范式中的所有非常元IESF是正则的，则称广义合取（析取）范式是正则的。

定义7（α-归结原理）设G₁，G₂为LP（X）中具有如下形式的广义子句：

G₁=g₁∨…∨g_i∨…∨g_m，G₂=h₁∨…∨h_j∨…∨h_n，

若g_i∧h_j≤α，则称G=g₁∨…∨g_i-1∨g_i+1∨…∨g_m∨h₁∨…∨h_j-1∨h_j+1∨…∨h_n为G₁和G₂的α-归结式，记为G=R_α（G₁，G₂），g_i和h_j称为α-归结对，记为（g_i，h_j）-α。

定义8 设C₁，C₂，…，C_n广义子句，S=C₁∧C₂∧…∧C_n（也记S={C₁，C₂，…，C_n}）。称：

ω={D₁，D₂，…，D_m}为从S到广义子句D_m的α-归结演绎，若：

（1）D_i∈{C₁，C₂，…，C_n}，或者：

（2）存在j，k＜i，使得D_i=R_α（C_j，C_k）。

定理4（可靠性定理）设C₁，C₂，…，C_n广义子句，S=C₁∧C₂∧…∧C_n，α∈L。若存在一个从S到α-空子句的α-归结演绎，则S≤α。

定理5（弱完备性定理）设C₁，C₂，…，C_n广义子句，S=C₁∧C₂∧…∧C_n，α∈L，∨_a∈L（a∧a′）≤α＜I，α是对偶分子。若存在β∈L使得β→（β→β′）’α，且S≤α，则存在一个从S到α-空子句的α-归结演绎。

自从依据基于格蕴涵代数的格值逻辑系统的α-归结原理提出以来，一些学者依据基于格蕴涵代数的格值逻辑系统，先后讨论了依据基于格蕴涵代数的格值逻辑系统LF（X）的α-归结自动推理，滤子及关联滤子归结自动推理，基于Petri网推理模型的归结自动推理，基于路径搜索的归结自动推理，基于神经网络模型的归结自动推理，半正则广义子句集归结自动推理，只含有命题变元和一阶非半正则广义文字的子句集的归结自动推理，真值域为例2的格蕴涵代数和有限链格蕴涵代数的逻辑系统的归结自动推理等，特别地，对赋值域为语言真值格蕴涵代数的格值逻辑系统的语言真值归结自动推理进行了系统深入的研究，得到了依据基于格蕴涵代数的格值逻辑系统的各种归结自动推理理论、方法、算法和程序，并将其应用于规则库的相容性研究。