当代中国逻辑学研究
四 模型论在数学中的应用
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来 源
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当代中国逻辑学研究2009 \ - |
作 者
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摘 要
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模型论是数理逻辑的重要分支，是研究形式语言及其解释（模型）之间的关系的理论。早在20世纪20年代，数理逻辑的研究中就有了模型论性质的重要结果。模型论的发展主要有两条主线：从具体的数学结构(如实数域)出发,利用模型论方法获得关于该结构以及该结构中的可定义集合的新性质。王世强对域上某些无限维向量引入“无限线性相关”的概念，给出了任意域上行列有限矩阵M（即：每行及每列都只含有限个非零元的无限矩阵，以下简称rcf矩阵）存在各种逆方阵的充分必要条件。汪芳庭利用模型论研究一种特殊语言上的算术理论，建立了构造实数的新方法sup[114]。 | ||||||
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关键词
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矩阵 定理 对角 量词 数理逻辑 数学结构 方阵 分式 模型论 广义 线性方程组 |
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四 模型论在数学中的应用
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模型论的思想和方法应用于具体的数学结构取得了惊人的成功。
王世强结合模型论方法，给出了代数闭域上希尔伯特零点定理的一些推广形式sup[124]。他将前人关于任意域上无限线性方程组可解性的定理在不可数域上推广到可以包括高次不等式组的情况，这样可便于讨论线性代数中例如方阵的非异性等问题sup[132]。童雪与别荣芳以α-型和紧致性定理为工具研究Hilbert零点问题，推广了Abiande的结果，给出了域上的无限线性方程组有解的一些判定准则sup[110]。
王世强把他的关于Hilbert零点的结果应用于有关域上无限方阵的问题的研究。例如证明了如下结论：设F为一有限域或为一不可数代数闭域，则F上每一无限矩阵M都能表示为两个特殊形状无限矩阵的平方和sup[128]。王世强对域上某些无限维向量引入“无限线性相关”的概念，给出了任意域上行列有限矩阵M（即：每行及每列都只含有限个非零元的无限矩阵，以下简称rcf矩阵）存在各种逆方阵的充分必要条件。例如：任域F上rcf矩阵M具有rcf双侧逆矩阵的充分必要条件是：M的诸行及诸列都是与无限线性无关的sup[131]。在此基础上，他解决了任意域上rcf矩阵M在等价变换下的对角化问题，给出了M可对角化的充分必要条件及可对角化rcf方阵的完全分类sup[347]。这项分类的成果显示了rcf矩阵与有限矩阵在性质上的很大差异。F上的rcf矩阵并不都是可对角化的。张玉平和王世强给出了ω1-饱和域上的矩阵可对角化的一个充分条件sup[166]。陈国龙则研究了可除环上的上三角矩阵双侧可逆的充分条件sup[7]。
汪芳庭利用模型论研究一种特殊语言上的算术理论，建立了构造实数的新方法sup[114]。
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