当代中国逻辑学研究
一 集合论系统及其分层
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来 源
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当代中国逻辑学研究2009 \ - |
作 者
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摘 要
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公理集合论是数理逻辑的重要分支。主要研究集合论公理系统及相关的新公理。策梅洛于1908年为了对选择公理辩护，提出了第一个集合论公理系统Z， 20世纪20年代经A.A.弗伦克尔和A.T.斯柯伦的改进和补充，从而得到常用的策梅洛-弗伦克尔公理系统，简记为ZF。不过，公理集合论的工作主要集中在ZF系统及其扩充。协调性与(相对)独立性是公理集合论的核心议题。无穷组合公理、大基数（强无穷）公理以及相关的课题是公理集合论的主要的内容。公理集合论的方法还被广泛应用于其他数学分支，如：代数、拓扑、分析等。李娜在布尔值模型中定义了模态算子，证明了各种模态逻辑的公理在ZF的布尔值模型中的布尔值都是1sup[278][279]。 | ||||||
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关键词
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集合论 基数 公理 公理集合论 Martin Martin公理 模型方法 算术 尾数 谓词逻辑 数学 |
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一 集合论系统及其分层
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莫绍揆除了在可计算性方面的工作，在公理集合论的研究方面也有出色的工作。他研究了集合论公理系统的简化，把ZFC系统中的九条公理简化为四条sup[80]。基数的方幂问题是集合论中一个基本且重要的问题，各国学者对此问题的研究大都是建立在共尾数理论之上，从而未能得出完整的结果，而且不够系统。莫绍揆撇开了共尾数理论，用一种新方法讨论了基数方幂，从而解决了这个问题sup[81]。莫指出函词的作用功能可以用代入运算来表示，从而函词、函元、量词、函元约束词、概括原理等均可删除不用，一阶谓词逻辑即是功能完全的逻辑演算，以代入运算代替抽象运算更能深刻揭示逻辑本质，并可避免λ演算与集合论所导致的悖论sup[79]。
张锦文研究建立在弱谓词逻辑系统上的集合论公理系统。他建立了一个称作强蕴涵演算的逻辑系统WLsup[160]。该系统是从Kleene的元数学导论中的公理和规则1—12中去掉模式1和7，再加上模式A→┐┐A后得到的系统。它不同于古典逻辑，也不同于直觉演算。张锦文考虑建立在WL上的ZF集合论系统sup[380]。他证明了Zadeh的弗晰（模糊）集合论是这种弱集合论系统的非标准模型。
在通常的集合论中，真类是不能作为其他对象的元素。张锦文在Gödel-Bernays系统（GB）基础上构建了公理系统ACG，试图为范畴论提供逻辑基础。其中他引入了比集合和类更高型的对象——聚合。不仅集合和类可以为聚合的元素，聚合也可以是其他聚合的元素。ACG系统实际上是在GB系统的基础上加上与之相应的关于聚合和聚合的类（称为二型类）的公理。可以证明，ZF+“存在不可大基数”是ACG的子系统sup[161][162]。
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