当代中国逻辑学研究
二 大基数、无穷组合性质、基数不变性
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当代中国逻辑学研究2009 \ - |
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摘 要
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公理集合论是数理逻辑的重要分支。主要研究集合论公理系统及相关的新公理。策梅洛于1908年为了对选择公理辩护，提出了第一个集合论公理系统Z， 20世纪20年代经A.A.弗伦克尔和A.T.斯柯伦的改进和补充，从而得到常用的策梅洛-弗伦克尔公理系统，简记为ZF。不过，公理集合论的工作主要集中在ZF系统及其扩充。协调性与(相对)独立性是公理集合论的核心议题。无穷组合公理、大基数（强无穷）公理以及相关的课题是公理集合论的主要的内容。公理集合论的方法还被广泛应用于其他数学分支，如：代数、拓扑、分析等。李娜在布尔值模型中定义了模态算子，证明了各种模态逻辑的公理在ZF的布尔值模型中的布尔值都是1sup[278][279]。 | ||||||
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关键词
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集合论 基数 公理 公理集合论 Martin Martin公理 模型方法 算术 尾数 谓词逻辑 数学 |
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二 大基数、无穷组合性质、基数不变性
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Martin公理是集合论中的重要公理之一。早在1979年周浩旋讨论了Martin公理与力迫方法、可构成公理（V=L）的关系，总结了14种等价形式sup[174]。继而，周浩旋总结了Martin公理在数学各种分支的应用sup[175]。
冯琦和T.Jech提出了投影稳定原则，它是说：[H]supωκ（其中κ≥ω2）中的每个投影稳定集都含有一个长度为ω1的递增连续∈-链。他们获得如下结果，投影稳定原则与Todorcevic的强反映原则等价，Martin Maximum公理能推出投影稳定原则。但投影稳定原则也能推出Martin Maximum公理的某些推论sup[229]。
冯琦研究了Radu猜想sup[226]。Radu猜想蕴涵连续统等于第二个不可数基数，还蕴涵一些重要的无穷组合性质。冯琦证明了，Radu猜想蕴涵：ω1上的不稳定（nonstationary）理想是presaturated。注意，presaturated理想曾被用来构造含有Woodin基数的内模型。可见Radu猜想是很强的。冯琦研究了共尾枝原则与强反映原则之间的强弱关系sup[227]。共尾枝原则即是：每个高度为ω1的强Baire树都有共尾枝。冯琦证明了共尾枝原则蕴涵强反映原则，但反之不成立（该证明用了semiproper力迫公理）。
·“不存在P-point”加上“ω1上的不稳定理想是ω1-稠密的”是协调的。
·“存在唯一的P-point”加上“ω1上的不稳定理想是ω1-稠密的”是协调的。
J.R.Steel在存在大基数以及不存在含有Woodin基数的内模型的假设下，构造了一个core模型κsup[265]。构造内模型的目的是为证明相对协调性，如果能在较弱的假设下（如把“不存在可测基数”假设减弱或去掉）构造同样的core模型κ，那么我就得到了更强的相对协调性。冯琦和R.Jensen发展了一种构造Steel型core模型的新方法sup[228]。他们的新技术“supercompact type 1 extender”使得他们的构造仅需要不可达基数的存在性sup[231]。
张羿则关心代数学中的基数不变性问题。张羿考察了几乎不同（eventually different）的函数集的基数sup[389]。设am为最小的满足如下条件的基数：存在基数为am的几乎不同的函数集A使得对任意无穷部分函数h都存在A中的函数f使得h和f在无穷多个点处的值相等。张羿证明了如下相对协调性结论：（1）am=2supω是协调的，（2）am=ω1＜2supω是协调的，及（3）a＜am是协调的，这里a是最小的极大几乎不交集族的基数。
张羿研究了极大几乎不交函数集的基数sup[396]。设ae为最小的极大几乎不交函数集的基数，而a与ap和ae的定义方式相同，只是分别加上递增和置换两个条件。张羿应用Miller力迫证明了（1）ae=ω2=2supω+a+a=ω1是协调的，（2）ap=ω2=2supω+a+a=ω1。紧接着，张羿研究了极大共尾群的基数不变性sup[395]。他证明了，Martin公理蕴涵Sym（ω）的每个极大共尾子群的基数为2supω。之后，张羿研究涉及共尾群的基数不变性sup[244]。在群论中有如下问题：是否存在自然数集上的置换群，它既是极大的共尾全对称群，也是极大的几乎不交集（当把他看作为集合时）。张羿用复杂的力迫方法证明了，存在这样的群是协调的sup[393]。接着，张羿在连续统假设下构造了一个极大共尾子群。他还指出，在Martin公理下，也可做类似的构造sup[394]。张羿和Kastermans合作研究了下面三个基数的不变性sup[185]。
ag：=最小的极大共尾置换群的基数。
ap：=最小的极大几乎不交置换族的基数。
c（Sym（N））：=ω上的置换群的共尾数。
早在20世纪80年代，U.Abraham，M.Rubin和S.Shelah为了研究ω1-稠密实数集的同构及嵌入性质引进了如下公理：半开染色公理SOCA，开染色公理OCA，以及递增集公理ISA。赵希顺用力迫方法证明了，以上提及的每条公理都与“存在ω2-Kurepa树”+Martin公理是相对协调的。从而证明了，ZFC+“不存在ω1-Souslin树”+“存在ω2-Kurepa树”是相对协调的sup[397]。赵希顺利用proper力迫方法证明了，如果ZFC加上“存在弱紧基数”是协调的，则ZFC与Martin公理加上“存在ω2-Aronszajn树”也是协调的sup[168]。
汪芳庭研究ω上的算术超滤。回答了J.E.Baumgartner和A.D.Taylor的一个问题：即两个不相容矢性P-点之积一定是算术超滤积sup[113]。每个非主算术超滤都对应着一个简单的算术模型，用这个模型中的超滤作成的有限分数的等价类便得到了所有正实数。汪芳庭证明了Matrin公理的一种弱形式蕴涵存在ω上的非主算术超滤sup[115]。
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