当代中国逻辑学研究
一 关于格蕴涵代数的研究
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来 源
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当代中国逻辑学研究2009 \ - |
作 者
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摘 要
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作为人工智能的理论基础，非经典逻辑研究具有重要的理论意义及应用价值。基于格蕴涵代数的格值逻辑是一种重要的非经典逻辑，徐扬等从1993年开始对格蕴涵代数、基于格蕴涵代数的格值逻辑系统、基于该逻辑系统的不确定性推理及自动推理理论与方法进行了系统、深入的研究。基于路径搜索的归结自动推理，基于神经网络模型的归结自动推理，半正则广义子句集归结自动推理，只含有命题变元和一阶非半正则广义文字的子句集的归结自动推理，真值域为例2的格蕴涵代数和有限链格蕴涵代数的逻辑系统的归结自动推理等，特别地。 | ||||||
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关键词
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代数 经典逻辑 广义 定理 子句 正则 确定性 语义 逻辑公式 赋值 逻辑系统 |
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一 关于格蕴涵代数的研究
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为建立一种新的格值逻辑系统，徐扬于1993年提出了格蕴涵代数的概念，它是一种将格与蕴涵代数相结合而建立的非经典逻辑代数。
格蕴涵代数是一个代数系统L=（L，∨，∧，′，→，O，I），其中：
（1）（L，∨，∧，O，I）是一个有界格，O，I分别为其最小元及最大元；
（2）′：L→L是一个逆序对合映射；
（3）→：L×L→L是一个二元运算且对任意x，y，z∈L，有：
①x→（y→z）=y→（x→z）；
②x→x=I；
③x→y=y′→x′；
④若x→y=y→x=I，则x=y；
⑤（x→y）→y=（y→x）→x；
⑥（x∨y）→z=（x→z）∧（y→z）；
⑦（x∧y）→z=（x→z）∨（y→z）。
例1（Łukasiewicz蕴涵代数）若在[0，1]区间上定义以下运算：
x∨y=max{x，y}，x∧y=min{x，y}，x′=1-x，x→y=min{1，1-x+y}，
则（[0，1]，∨，∧，′，→，0，1）是格蕴涵代数。
例2 若L={O，a，b，c，d，I}，O′=I，a′=c，b′=d，c′=a，d′=b，I′=O，L的Hasse图以及蕴涵→分别如图1，表1，则（L，∨，∧，′，→，O，I）是格蕴涵代数。
格蕴涵代数是一种广泛的代数结构，所有的格蕴涵代数构成一个真类。格蕴涵代数有许多良好的性质，如：对任意x，y，z∈L，
（1）（L，∨，∧）是分配格；
（2）x≤y当且仅当x→y=I；
（3）x→O=x′，I→x=x；
（4）若x≤y，则z→x≤z→y，y→z≤x→z；
（5）x→y≥x′∨y；
（6）若对于x∈L，x∨x′=I，则（L，∨，∧，′）是布尔代数；
（7）（x→y）∨（y→x）=I；
（8）（x→y）→y=x∨y；
（9）z→（x→y）≥（z→x）→（z→y）；
（10）（x→y）→（z→y）=（y→x）→（z→x）；
（11）x∨y=I当且仅当x→y=y。
对任意x，y∈L，记x⊗y=（x→y′）′。
若L为有限链，则存在L上唯一的蕴涵→，使其成为格蕴涵代数。有限格蕴涵代数可分解为有限链的笛卡尔乘积。在[0，1]区间上，可以定义无穷多种格蕴涵代数。在格蕴涵代数上可适当定义运算使其成为MV代数，反之亦然。
按常规方式可以定义格蕴涵代数的子代数以及格蕴涵代数之间的同态映射。
滤子是形式推演中MP规则在代数中的表现形式，对于研究非经典逻辑代数以及相应的逻辑系统具有重要意义。格蕴涵代数l的一个子集J称为它的一个滤子，如果I∈J且x，x→y∈J时，有y∈J。l的滤子可以由L的子集生成。适当增加条件可以分别得到关联滤子、生成滤子、素滤子、超滤子、I-滤子、结合滤子、奇异滤子、对合滤子、固执滤子等。格蕴涵代数中的滤子与同余关系可以互相确定，从而借助滤子可产生格蕴涵代数的一种商结构。另外，关于滤子的模糊化方法、滤子的对偶结构（LI-理想、ILI-理想、WLI-理想）、格蕴涵代数构成的范畴以及格蕴涵代数与其他非经典逻辑代数的关系，也有许多研究成果。
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