当代中国逻辑学研究
三 概率归纳逻辑形式化研究：“无限全称命题概率为0”问题的解决方案
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当代中国逻辑学研究2009 \ - |
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摘 要
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1984年可以看做是中国归纳逻辑研究的春天。这是国内第一部关于归纳逻辑的论文集，是归纳逻辑研究的一个良好开端。大约在同一时期，王雨田先生发起并组织的“全国归纳与概率逻辑讨论会”在大连旅顺召开。这次全国性的归纳逻辑恳谈会，所邀请的大都是全国各地在归纳逻辑方面发表过论文或者译文的学者（至少是有过初步研究的学者）。在讨论会上，与会代表着重交流了国内外归纳与概率逻辑研究的进展情况，初步探讨了科学的发展趋势，并就今后的研究方向和课题交换了意见。会议还就一些理论问题进行了讨论，主要有归纳逻辑的对象、地位与作用，归纳模式，归纳悖论，波普尔的反归纳主义论题等。 | ||||||
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关键词
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概率 归纳 概率逻辑 假说 证据 女皇 学者 语义学 江天 命题概率 全称 |
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三 概率归纳逻辑形式化研究：“无限全称命题概率为0”问题的解决方案
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我国概率归纳逻辑形式化研究主要探讨“无限全称命题概率为0”问题的解决方案。
（一）“无限全称命题概率为0”问题
卡尔纳普是逻辑主义概率归纳逻辑的代表人物，他于20世纪50年代提出概率逻辑系统λ，将概率归纳逻辑推向了“顶峰”。卡尔纳普用公式C（h，e）=r来表述他的概率逻辑或者说归纳逻辑的内容，其中c代表函项，h代表一种假设，e代表一组给予证据，r则代表“确认度”。LsupπN相当于条件概率LsupπN。证据e不是事实本身，而是关于我们观察结果的报告。h和e都可以看做是一个长句子，确证程度仅仅表示了这两个句子间的某种逻辑关系。尽管h和e本身都有事实内容，但是为确定h相对于e的确证程度，我们无须知道h是真还是假。我们所需要的仅仅是关于这两个句子的意义分析，然后凭借公式加以计算。这个公式向我们表明，概率逻辑在给予证据和假设之间，有部分的蕴涵关系，而假设的“确认度”，是以给予证据的真值条件和假设的真值条件有多大程度的符合为根据加以确定的。[※注]
卡尔纳普的λ系统为概率归纳逻辑的形式化做出了巨大的贡献，但是，它却有一个致命的缺陷，即它无法解决“无限全称命题概率为0”问题，而导致许多学者认为概率逻辑用于刻画归纳推理是不成功的。
我们知道，含有全称量词如“所有”、“任意”等的命题叫全称命题。例如，
例1 对于任意的n∈Z，2n+1是奇数。
例2 所有的中学生都是未成年人。
例3 所有的乌鸦都是黑的。
例4 所有的生物都使用同一套遗传密码。
例5 所有的蜜蜂都能辨色。
所谓“无限全称命题”指的是个体域为无限的全称命题，比如上面的例1、例3、例4、例5，而不是例2那样的命题。前者所涉及的对象是无数的，后者虽然也是全称句形式，但涉及的对象是有限的。
无限全称命题具有非常重要的作用，因为科学理论、自然规律几乎都具有无限全称命题的逻辑形式。但是，无限全称命题也给概率逻辑带来了一个致命的打击，因为它导致了卡尔那普构造的λ系统出现一个重大缺陷，即在个体域为无穷的情况下它不能给全称事实句以非零的概率，这个问题通常被称为“无限全称命题概率为0”问题。按照波普尔的说法，对于一个科学理论或一个自然规律，尽管它在实践中受到多次检验，尽管每次检验都表明这个理论或规律是正确的，但只要检验的次数是有限的，不是无穷多次，那么实践检验对这一理论的确证度就是零。[※注]
“无限全称命题概率为0”问题不仅成为波普尔用来作为反对归纳的一个重要根据，而且也导致许多学者认为用概率逻辑刻画归纳推理是不成功的。比如，陈波就曾说过：“归纳结论是涉及潜无穷对象的全称陈述，而为观察证实的归纳例证不论数量多大，总是有限的，当以无穷做底数去除不管多大的数量时，所得到的商即概率总是零。……归纳概率逻辑不能为归纳合理性提供辩护。”[※注]
（二）“无限全称命题概率为0”问题的解决方案
无限全称命题确证度为0的结果对于归纳概率逻辑是极其不利的，国外许多学者如欣迪卡、宁尼鲁托等人都致力于解决这一问题。我国学者陈克艰在20世纪80年代也提出了一个解决方案。[※注]下面简单介绍一下欣迪卡和陈克艰的工作。
0≤i≤n二维系统可以做到：（1）给每一个全称事实句指派非零的先验概率。（2）在确证过程中，如果证据里出现了全称概括所不允许的Q谓词的事例，则该全称概括立刻被证伪。（3）随着所观察的对象数量的增加，那个恰好与证据相符的构件的后验概率增加，其余构件的后验概率降低。当证据的数量无限增加时，与证据相符的构件的后验概率趋近于1，其余构件的后验概率趋近于0。卡尔纳普的λ系统被欣迪卡的二维系统所包含，是二维系统的一种极端的特殊的情况。
陈克艰对卡尔纳普的λ系统进行了修正，建立了一个θ系统。在θ系统中，他将计算单称预测假说确证度公式中经验因J2的权重取为H1（卡尔纳普取其为H2），逻辑因素的权重H仍像卡尔纳普那样取为任一正常数。这样，在无穷个体域中，如果证据表明已经观察过的个体都具有同一性质，那么假说“所有无限多个个体都具有这种性质”可以得到非零的确证度，换句话说，在无穷个体域中，在无反例的情况下，全称假说可以得到非零的确证度。陈克艰还证明了两个有趣的结果：首先，如果已经观察过的个体都具有同一种性质，那么观察的个体的数目越多，相应的无限全称命题得到的确证度越高。其次，在被观察过的个体中，只要有一个反例，则相应的无限全称命题只能是零概率。这些结果与人们使用简单枚举法时的直觉是相符的。[※注]
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